Уравнения первой степени

 Два числа или два алгебраических выражения, соединенные знаком равенства (=), составляют равенство. Если левая и правая части равенства при всех значениях букв, в него входящих, дают одинаковые числовые значения, то такое равенство называется тождеством. Равенство, которое удовлетворяется только некоторыми определенными значениями букв, в него входящих, называется уравнением. Числа уравнения, обозначенные буквами, называются неизвестными уравнения.

 Решить уравнение — значит найти те значения входящих в него неизвестных, которые удовлетворяют уравнению, т. е. обращают его в тождество. Уравнения бывают первой, второй или более высокой степени, с одним или несколькими неизвестными.
Порядок решения уравнения первой степени с одним неизвестным покажем на примере. 

 Пусть дано уравнение:
(3*(2х-5))/5-(3х-7)/4+х=(х+3)/6+14/3

 Члены уравнения приведем к общему знаменателю:
3(2х-5)12-(3х-7)15+60х=(х+3)10+14*20.

 Раскроем скобки:
72х-180-45х+105+60х=10х+30+280.

 Перенесем  неизвестные  в  левую часть уравнения,  а известные — в правую:
72х-45х+60х-10х=30+280+180-105,

 Приведем подобные члены: 77х=385; определяем неизвестное:
х=385/77=5

 Таким образом, выполнив все действия, придают уравнению вид: ах=b, откуда находят х=b/a. В зависимости от значений а и b корень уравнения может быть: положительным, если а и b имеют одинаковые знаки; отрицательным, если а и b разных знаков; нулевым, когда b=0, но а≠0; бесконечным — при b≠0 и а=0; неопределенным— при b=0 и a=0.

 Система  двух  уравнений  с  двумя  неизвестными  вида
ax+by=c
bx+ny=d
решается двумя способами.

 Способ подстановки. Одно из уравнений, например ах+bу=с решается относительно одного из неизвестных, например относительно х:
x=(c-by)/a

 Полученное выражение подставляется во второе уравнение:
m((c-by)/a)+ny=d
 Получилось уравнение с одним неизвестным, которое решается обычным путем:
y=(ad-cm)/(an-bm);
 x находится из первого уравнения после подстановки в него значения у:

ax+b((ad-mc)/(an-mb))=c;
x=(cn-db)/(an-mb)

 Способ алгебраического сложения состоит в том, что умножением обоих уравнений на соответствующие числа уравнивают коэффициенты при одном и том же неизвестном в обоих уравнениях системы. Затем, складывая или вычитая уравнения, одно неизвестное исключают, и остается, таким образом, одно уравнение с одним неизвестным. В нашем случае для нахождения x первое уравнение умножается на n, а второе на b, и из первого вычитается второе. Полученный результат решается относительно x:

 Для того чтобы найти у, первое уравнение умножается на m, а второе на а, и из второго вычитается первое; полученный результат решается относительно у;