Решение треугольников и многоугольников
06.10.07 09:14

 Для определения сторон и  углов треугольников и многоугольников можно пользоваться формулами,  приведенными в табл. 4, 5, 6.

 f4

Решение прямоугольных треугольников. (Фиг.4,а). Таблица 4

Дано

Найти

Решение

а, α

b

c

F


b=a*ctgα

c=a/sinα

F=(a2/2)*ctgα
 

b, α

a

c

F


a=b*tgα

c=b/cosα

F=(b2/2)*tgα
 

c, α

a

b

F


a=c*sinα

b=c*cosα

F=(c2/2)*sinαcosα=(c2/4)*sin2α
 

a, b

α

β

c
F


tgα=a/b; α=90°-β

tgβ=b/a; β=90°-α

F=ab/2; c=a/sinα; c=√(a2+b2)
 

a, c

α

β

b

F


sinα=a/c; α=90°-β

cosβ=a/c; β=90°-α

b=√(c2-a2)=√((c+a)(c-a))=c*cosα

F=(a/2)*√((c+a)(c-a))=(1/2)*a*c*sinβ
 

 

Решение косоугольных треугольников. (Фиг. 4,б). Таблица 5

Дано

Найти

Решение

a, b, γ

c

α

β

F


c=√(a2+b2-2ab*cosγ)

sinα=(a*sinγ)/c; tgα=(a*sinγ)/(b-a*cosγ)

sinβ=(b*sinγ)/c; tgβ=(b*sinγ)/(a-b*cosγ)

F=(ab*sinγ)/2
 

 a, β, γ
 или
a, α, β

  

b

c

F


α=180°-(β+γ); γ=180°-(α+β)
β=180°-(α+γ)

b=(a*sinβ)/sinα=(a*sinβ)/sin(β+γ)

c=(a*sinγ)/sinα=(a*sinγ)/sin(β+γ)

F=(a2sinβsinγ)/2sinα=a2/2(ctgβ+ctgγ)
 

 a, b, c

F

α

β

γ

Если полупериметр s=(a+b+c)/2, то

F=√(s(s-a)(s-b)(s-c))

sinα=2F/bc; sinβ=2F/ac; sinγ=2F/ab

cosα=(b2+c2-a2)/2bc;

cosβ=(a2+c2-b2)/2ac;

cosγ=(b2+a2-c2)/2ab

 

Решение правильного многоугольника. Таблица 6

Название

Обозначение

Решение

Число сторон...

Сторона многоугольника...

Радиус описанного круга...

Радиус вписанного круга...

Площадь многоугольника...

Зависимость...

n

s

R

r

F

sin180°/n

 

s=2R180°/n=2r*tg180°/n

R=(s/2)/(sin180°/n)=r/(cos280°/n)

r=(s/2)ctg180°/n=Rcos280°/n

F=(n/2)R2sin360°/n=nr2tg180°/n

Дана в табл.7

 Табл. 7 можно воспользоваться также при графическом делении окружности на необходимое число частей (до 48). Для этого нужно подсчитать длину хорды, которая равна диаметру окружности, умноженному на sin180°/n

Значение функций sin180°/n. Таблица 7

n

sin180°/n

n

sin180°/n

n

sin180°/n

n

sin180°/n

1

0,00000

13

0,23932

25

0,12533

37

0,08481

2

1,00000

14

0,22252

26

0,12054

38

0,08258

3

0,86603

15

0,20791

27

0,11609

39

0,08047

4

0,70711

16

0,19509

28

0,11196

40

0,07846

5

0,58779

17

0,18375

29

0,10812

41

0,07655

6

0,50000

18

0,17365

30

0,10453

42

0,07473

7

0,43388

19

0,16459

31

0,10117

43

0,07300

8

0,38268

20

0,15643

32

0,09802

44

0,07134

9

0,34202

21

0,14904

33

0,09506

45

0,06976

10

0,30902

22

0,14231

34

0,09227

46

0,06824

11

0,28173

23

0,13617

35

0,08964

47

0,06679

12

0,25882

24

0,13053

36

0,08716

48

0,06540

n-число сторон многоугольника или число частей окружности, полученных при ее делении

 Пример. Нужно разделить на 47 частей окружность круга, диаметр которого равен 375 мм. Для деления надо откладывать по окружности циркулем отрезок (хорду) b=375*0,06679=25,046 мм.