Сейчас читают




Некоторые кривые и их построение
08.10.07 09:42

 Эллипс — это геометрическое место точек сумма расстояний которых от двух неподвижных точек (фокусов) F1 и E2 есть величина постоянная.
Эллипс строится следующим образом (фиг. 8) 

 f8

 Вычерчиваются две окружности: большая - диаметром, равным большой оси эллипса и малая-диаметром, равным малой оси. Большая  окружность  делится на произвольное число частей,  и точки деления 1, 2, 3 и т.д. соединяются с центром окружности.  Из этих точек проводят вертикальные линии, а из точек пересечения с малой окружностью 1, 2, 3 и т. д. - горизонтальные  линии. Точки  пересечения  вертикальных и горизонтальных линий будут точками эллипса,  Их следует соединить плавной кривой при помощи лекала.


 Существуют и другие способы построения эллипса. Частным случаем эллипса является овал — кривая, которую можно вычертить дугами окружности при помощи циркуля. На фиг. 9 показан такой способ вычерчивания. Сначала строится ромб, из точек А и В которого радиусом R1 проводятся дуги ab и cd. Затем радиусом Rвычерчивается окружность, определяющая центры С и D. Из этих центров радиусом R3 проводятся боковые дуги овала. В машиностроении применяются детали и профили металлопроката эллипсообразной и овальной формы, например трубы, фланцы, эллиптические зубчатые колеса и т. п. Построение овала широко применяется при аксонометрическом черчении.

 f9

 Парабола — геометрическое место точек, равноудаленных от неподвижной точки (фокуса) F и неподвижкой прямой, так называваемой директрисы. Уравнение параболы: у2=2рx, где р — параметр, равный расстоянию между фокусом и директрисой.
Парабола строится следующими двумя способами.

 1. Дана директриса L'L и фокус F.  Через фокус (фиг.  10) проводят прямую, перпендикулярную директрисе. Находят вершину параболы О, которая будет лежать точно на середине между фокусом и директрисой. На равных расстояниях от вершины вправо проводят несколько вертикальных прямых, затем радиусом, равным расстоянию от каждой вертикальной линии до точки A, 1—A, 2—A, 3—A и т. д., из фокуса, циркулем засекают на этих вертикальных линиях точки, которые будут являться точками параболы. Точки соединяются плавной кривой.

 f10

 2. Дана вершина О, ось Ох и точка параболы М (фиг. 11). Строят прямоугольник ОАМВ, стороны которого делят на равное число частей. Точки деления на стороне МВ соединяются с вершиной О, а из точек деления на линии OВ проводятся линии, перпендикулярные оси Ох. Точки пересечения этих линий с линиями, проведенными из вершины, будут точками одной ветви параболы. Вторая ветвь строится аналогично.

f11


 Спираль Архимеда — это геометрическое место точки, равномерно движущейся по прямой, равномерно вращающейся вокруг точки О. Уравнение спирали  r=aφ,  где а — коэффициент увеличения радиуса при увеличении угла поворота φ.

 Архимедова спираль строится следующим образом (фиг. 12). Вычерчивают окружность радиусом ОA=r0, т. е. равным пути, пройденному точкой от прямой за время ее поворота на 360°. Радиус ОА делят на произвольное число равных частей и на такое же число частей делят окружность. Затем циркулем на луче ОВ засекают отрезок О—I, равный отрезку О—1; на луче ОС отрезок О—II, равный О—2, и т. д. Точки I, II, III и т. д. будут точками архимедовой спирали.

f12 

 Кроме архимедовой спирали, существуют спирали гиперболическая и логарифмическая, которые также определяют движение точек по вращающемуся лучу. Спирали применяются во многих конструкциях изделий и приспособлений. Например, по архимедовой спирали делаются внутренняя часть трехкулачкового патрона, канавки отводных дисков ременной передачи и др.

 К циклическим кривым относятся следующие:

 Циклоида — кривая, описанная точкой, лежащей на окружности, при качении без скольжения этой окружности по прямой (фиг. 13).

 Циклоида строится следующим образом. На оси АХ откладывается отрезок AС=πD/2, где D — диаметр окружности. Дуга АВ и отрезок АС делятся на одинаковое число равных частей. От точек MI, MII, MIII пересечения перпендикуляров к осям, проведенным через точки деления, откладываются влево отрезки
MIM1=A1-1; MIIM2=A2-2 и т.д.
Точки М1, М2, М3, М4 будут точками циклоиды.

f13

 Эпициклоида — кривая, описанная точкой, лежащей на окружности, при качении без скольжения этой окружности по другой окружности, касаясь ее извне.
 Гипоциклоида — кривая, описанная точкой, лежащей на окружности, при качении без скольжения этой окружности внутри другой окружности.
 Эвольвента окружности — кривая, описанная точкой, лежащей на прямой, при качении без скольжения этой прямой по окружности.

 Эвольвента строится следующим образом.  На прямой АХ (фиг. 14) откладывают отрезок AC=πD/2, где D—диаметр окружности. Прямую АС и полуокружность АВ делят на одинаковое число равных частей и через точки деления 1, 2, 3 и т. д. на окружности проводят касательные, на которых откладывают отрезки 1—М1; 2—M2 и т. д., равные отрезкам 3—С; 2—С и т. д. Точки М1; М2; М3 являются точками эвольвенты.

f14

 Циклические кривые часто используются при конструировании различных механизмов, в частности зубчатых передач. Например, эвольвента является кривой, отрезок которой очерчивает профиль зубьев шестерен с так называемым эвольвентным зацеплением.