Решение треугольников и многоугольников
Для определения сторон и углов треугольников и многоугольников можно пользоваться формулами, приведенными в табл. 4, 5, 6.
Решение прямоугольных треугольников. (Фиг.4,а). Таблица 4
|
Дано |
Найти |
Решение |
|
а, α |
b c F |
c=a/sinα
F=(a2/2)*ctgα |
|
b, α |
a c F |
c=b/cosα
F=(b2/2)*tgα |
|
c, α |
a b F |
b=c*cosα
F=(c2/2)*sinαcosα=(c2/4)*sin2α |
|
a, b |
α β
c |
tgβ=b/a; β=90°-α
F=ab/2; c=a/sinα; c=√(a2+b2) |
|
a, c |
α β b F |
cosβ=a/c; β=90°-α b=√(c2-a2)=√((c+a)(c-a))=c*cosα
F=(a/2)*√((c+a)(c-a))=(1/2)*a*c*sinβ |
Решение косоугольных треугольников. (Фиг. 4,б). Таблица 5
|
Дано |
Найти |
Решение |
|
a, b, γ |
c α β F |
sinα=(a*sinγ)/c; tgα=(a*sinγ)/(b-a*cosγ) sinβ=(b*sinγ)/c; tgβ=(b*sinγ)/(a-b*cosγ)
F=(ab*sinγ)/2 |
|
a, β, γ |
b c F |
b=(a*sinβ)/sinα=(a*sinβ)/sin(β+γ) c=(a*sinγ)/sinα=(a*sinγ)/sin(β+γ)
F=(a2sinβsinγ)/2sinα=a2/2(ctgβ+ctgγ) |
|
a, b, c |
F α β γ |
Если полупериметр s=(a+b+c)/2, то F=√(s(s-a)(s-b)(s-c)) sinα=2F/bc; sinβ=2F/ac; sinγ=2F/ab cosα=(b2+c2-a2)/2bc; cosβ=(a2+c2-b2)/2ac; cosγ=(b2+a2-c2)/2ab |
Решение правильного многоугольника. Таблица 6
|
Название |
Обозначение |
Решение |
|
Число сторон... Сторона многоугольника... Радиус описанного круга... Радиус вписанного круга... Площадь многоугольника... Зависимость... |
n s R r F sin180°/n |
s=2R180°/n=2r*tg180°/n R=(s/2)/(sin180°/n)=r/(cos280°/n) r=(s/2)ctg180°/n=Rcos280°/n F=(n/2)R2sin360°/n=nr2tg180°/n Дана в табл.7 |
Табл. 7 можно воспользоваться также при графическом делении окружности на необходимое число частей (до 48). Для этого нужно подсчитать длину хорды, которая равна диаметру окружности, умноженному на sin180°/n
Значение функций sin180°/n. Таблица 7
|
n |
sin180°/n |
n |
sin180°/n |
n |
sin180°/n |
n |
sin180°/n |
|
1 |
0,00000 |
13 |
0,23932 |
25 |
0,12533 |
37 |
0,08481 |
|
2 |
1,00000 |
14 |
0,22252 |
26 |
0,12054 |
38 |
0,08258 |
|
3 |
0,86603 |
15 |
0,20791 |
27 |
0,11609 |
39 |
0,08047 |
|
4 |
0,70711 |
16 |
0,19509 |
28 |
0,11196 |
40 |
0,07846 |
|
5 |
0,58779 |
17 |
0,18375 |
29 |
0,10812 |
41 |
0,07655 |
|
6 |
0,50000 |
18 |
0,17365 |
30 |
0,10453 |
42 |
0,07473 |
|
7 |
0,43388 |
19 |
0,16459 |
31 |
0,10117 |
43 |
0,07300 |
|
8 |
0,38268 |
20 |
0,15643 |
32 |
0,09802 |
44 |
0,07134 |
|
9 |
0,34202 |
21 |
0,14904 |
33 |
0,09506 |
45 |
0,06976 |
|
10 |
0,30902 |
22 |
0,14231 |
34 |
0,09227 |
46 |
0,06824 |
|
11 |
0,28173 |
23 |
0,13617 |
35 |
0,08964 |
47 |
0,06679 |
|
12 |
0,25882 |
24 |
0,13053 |
36 |
0,08716 |
48 |
0,06540 |
n-число сторон многоугольника или число частей окружности, полученных при ее делении
Пример. Нужно разделить на 47 частей окружность круга, диаметр которого равен 375 мм. Для деления надо откладывать по окружности циркулем отрезок (хорду) b=375*0,06679=25,046 мм.
